Til Rejselegat for Matematikere:
De følgende sider udgør min faglige og sociale/kulturelle rapportering for det tredie kvartal (februar til april) som legatar på Rejselegat for Matematikere.
Faglig Rapportering:
Rapporteringen begynder naturligt med vores ankomst til New Zealand. På den matematiske front var planen, at jeg skulle besøge Prof. Arkadii Slinko, som jeg tidligere har mødt ved en konference om Fejlkorrigerende Koder i Singapore. Selvom han ikke kan betragtes som ekspert indenfor Algebraisk Geometri, havde han dog en interesse for at lære mere om dette felt, især med hensyn til Fejlkorrigerende Koder, og jeg følte, at vi kom godt ud af det med hinanden, og at man kunne bruge det til en eller anden form for samarbejde.
Efter flere korrespondencer med ham sidste forår om mit besøg sendte jeg ham en e-mail fra Australien, om at vores tur forløb planmæssigt, og jeg blev noget overrasket, da han brysk meldte tilbage, at han ikke havde arrangeret noget for mig, og tilmed påstod, at han ikke engang vidste, hvornår jeg skulle komme til Auckland! Efter en hurtig kontakt til institut-bestyreren Prof. David Gauld fik jeg selv arrangeret det nødvendige og har nu alt, jeg behøver, i form af biblioteksadgang, kontorplads og computeradgang. Samtidig fandt jeg dog også ud af, at Arkadii har taget orlov i dette semester, så han er slet ikke til stede nu, og jeg følte, at jeg måtte gentænke mine planer.
Min vejleder Johan P. Hansen havde sendt mig et forslag om at studere bogen The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations af N. Smart, hvor der specielt diskuteres metoder til at finde heltalspunkter på elliptiske kurver. Jeg besluttede derfor til at fortsætte min forskning med dette som udgangspunkt, samtidig med at jeg selv ville læse videre om logik og mængdelære i de bøger, jeg har købt for Rejselegatet.
Jeg gik således i gang med bogen af Smart og lærte om en avanceret metode til at finde heltalspunkter på en elliptisk kurve opskrevet ved en Weierstrass-ligning, som via en eksplicit bestemmelse af den endeligt frembragte Mordell-Weil gruppe udnytter løsninger af Thue-ligninger (og dermed grænser for lineære logaritmer) til at opskrive samtlige heltalspunkter på kurven. Der er et par umiddelbare flaskehalse i algoritmen, den første er, at man skal lave en del beregninger i heltalsringen i et algebraisk tallegeme, men da graden af legemet er højst 3 over de rationale tal, skulle dette være overkommeligt. Et potentielt langt vanskeligere problem ligger i bestemmelsen af generatorerne for Mordell-Weil gruppen. Der findes en metode til denne bestemmelse, men for nogle (tilsyneladende relativt få) elliptiske kurver, hvor Tate-Shafarevich gruppen er ikke -triviel, slår metoden fejl. Så forskere har i de senere år begyndt en database-opsamling af generatorerne for en lang række af elliptiske kurver, men i princippet kan dette punkt være en stopklods i algoritmen.
Jeg blev heraf inspireret til at kigge på de nyeste resultater i dette felt og så en del artikler af Tzanakis og Stroeker, hvor man tog en mere generel genus 1 – kurve (som altså kan oversættes til en Weierstrass-ligning ved en birationel transformation) og modificerede metoden ovenfor til at kunne opskrive alle heltalspunkterne på den pågældende kurve. Faktisk kunne de i deres seneste artikel opskrive en fuldstændig generel genus 1 – ligning og gøre det samme. Så umiddelbart virkede det dermed som afslutningen på den gren af forskningen, men gennem mit studie af disse artikler fik jeg nys om den meget spændende bog Unsolved Problems in Number Theory af R. Guy, som udelukkende handler om problemer, der stadig er uløste, med en smule baggrund og især referencer til hvert problem, så man selv kan gå i gang med at undersøge status quo for de problemer, der virker fascinerende. En vældig god ide, og selvom bogen er fra 1994, og nogle problemer er løst, er der stadig rigeligt tilbage. Jeg kan undre mig over, at jeg aldrig er blevet dirigeret hen til denne bog før.
Således udstyret med denne bog kiggede jeg bogen igennem, specielt efter problemer, der kunne undersøges på computer, som for eksempel en formodning af Chowla, der siger, at alle naturlige tal kan skrives som en sum af højst fire tal på formen (p^2-1)/24, hvor p er et primtal større end eller lig 5. Med lidt programmering og algebra-pakken Magma fra Sydney University ville jeg kunne undersøge formodningen for alle naturlige tal op til en vis grænse, og selvfølgelig, hvis et modeksempel skulle dukke op, er det jo den nemmeste måde at afklare formodningen på. Jeg valgte en fem-seks problemer ud fra bogen og begyndte at lave programmerne til Magma, med den ovenstående formodning af Chowla som den klart sværeste af programmerne.
Jeg kører fra tid til anden stadig programmerne for at komme videre, og for eksempel havde Chowla ret, i hvert fald op til en grænse på 900. Det mest opsigtsvækkende, disse beregninger har givet mig, er nok i spørgsmålet om hvor mange primtal der er i følgen, der består af alternerende summer af fakulteter. Det n’te element i følgen er givet ved n! – (n-1)! + (n-2)! + … og så videre ned til 1!, og hidtil var disse beregnet op til n mindre end 336, og relativt få af disse, opskrevet på en liste, var primtal. Jeg har udvidet søgningen for n op til 1500 og i de nye elementer har jeg fundet et primtal, for n = 664. For lige at præcisere har jeg ikke bevist, at det er et primtal, men jeg har kørt en test, der bestemmer det som meget (yderst!!) sandsynligt, at tallet er et primtal. Jeg kunne nok køre en test, der endeligt ville bevise, at tallet er et primtal, men det ville nok tage computeren mindst en dags tid at blive færdig, og det har jeg ikke gjort endnu.
På den teoretiske side er jeg vendt lidt tilbage til Ree- og Suzuki-kurverne og basis-problemet med en ny ide, hvor jeg har fundet en passende generalisering af de kurver, jeg hidtil har studeret, med en tanke om at finde nogle delfamilier, som indeholder kurver, der er så ens, at man kan løse basisproblemet for hele familien på en gang. Og det har virket for den simplest mulige familie i min generalisering, jeg har beregnet en fælles basis for denne familie, og den er også simplest mulig, værende givet ved koordinatfunktionerne alene.
I mine undersøgelser for en af de “næstsimpleste” familier har jeg fundet nogle funktioner, som udgør en basis for de første kurver i familien, og det kan være muligt, at disse funktioner vil udgøre en basis for alle medlemmerne i familien. Da jeg imidlertid har lidt problemer med genus-beregningen, er jeg begyndt på at undersøge Weierstrass-semigruppen af poldybder lidt mere generisk, specielt kunne det være fantastisk, hvis man havde nogle funktioner med tilhørende poldybder, der så ud til at generere hele semigruppen (og havde de samme “passende” egenskaber), og så kunne sige noget om, hvornår man var sikker på at man havde dem alle sammen. Det vil nok være det, jeg vil arbejde på i den kommende maj måned.
Social/Kulturel Rapportering:
New Zealand er et meget smukt sted, og vi har indtil nu nydt vores tid her meget. Vi startede med inden semesterstart at tage en tur til Sydøen, og der var utroligt flot. Det var der også mange andre, der synes, og det lader til, at turismen i New Zealand er stigende. Jeg tror også, at film-trilogien Ringenes Herre (som jeg er en stor fan af) får folk til at tage til New Zealand for at se de spektakulære landskaber. Vi købte en “Location Guidebook”, der præsenterede nogle af de steder, der blev brugt i filmene og forklarede hvordan man kom derhen. Det blev til nogle flotte ture, blandt andet til Erewhon, et afsides sted dybt inde i Sydøen’s bakker, hvor Edoras, hovedstaden for Rohans riddere, blev til i filmen. Det har været meget fascinerende at få et indblik i, hvordan filmene er lavet, og hvor utroligt mange ressourcer der er blevet brugt på filmene.
Et andet absolut højdepunkt på Sydøen var Franz Josef -gletscheren, som vi kom op og gå på i en turgruppe med guide, og vi må sige at selvom det var sommer, var det alligevel hundekoldt, men utroligt spændende. Vi gik ned i adskillige gletscherspalter med hele udstyret, isøkse inkluderet. Og vi besøgte også Queenstown, en rigtig adrenalinby, hvor alle mulige af de lidt mere ekstreme aktiviteter kan prøves, hvis man vel at mærke vil betale for det, for billigt er det ikke. Camilla fik prøvet et Bungy-jump, og hun stak i et stort skrig hele vejen ned i Kawarau-kløften.
Jeg må også lige nævne Puzzle World ved Wanaka. Det er et meget underholdende sted bygget op om matematiske gåder og illusioner, og hvor der udover en interessant udstilling er et cafeteria fyldt med spil, hvor man kan sidde og spille. Deres største attraktion er nok en stor udendørs labyrint i to etager, som det tog os halvanden time, vil jeg tro, at komme igennem. Jeg blev også fænget af en stor planche med den matematiske løsning på Rubiks terning. Jeg har altid vist, at der skulle være en generel metode til at løse terningen på, men jeg har aldrig før set den. Jeg prøvede at affotografere planchen, men jeg har ikke afprøvet metoden endnu.
Tilbage i Auckland havde vi noget arbejde med at finde et sted at bo, idet vi i modsætning til i Sydney havde valgt ikke at finde noget specifikt på forhånd. Det var svært at finde noget med ordentlig plads, for det første var det svært at finde et sted med parkeringsplads til vores bil og for det andet var der mange små lejligheder, for som de siger: De behøver ikke at gøre dem større, for asiaterne tager gerne de små. Men efter et par dages søgen lykkedes det at finde en dejlig lejlighed her i Parnell, og vi bor godt her. Vi har nydt godt af at være i Auckland, det er en meget flot by, og i februar/marts havde vi America’s Cup, der havde en enorm bevågenhed, og der var et vældigt postyr nede ved havnen og ude på vandet, hvor luksusyachter havde sat anker for at kunne overvære begivenhederne. Selvom de dog ofte måtte aflyse dagens sejlads på grund af dårligt vejr.
Camilla har også fundet noget at se til i NumberWorks, et firma som giver ekstra undervisning i matematik til børn. Hun hjælper lidt til et par eftermiddage om ugen og laver også nogle programmer til børnene, der i langt de fleste tilfælde lærer via computer. Til hendes fødselsdag før påske var de så flinke at give hende et gavekort til færgen til Rangitoto, en nærliggende vulkanø. Oppe på instituttet deler jeg kontor med en anden Ph.D.-studerende fra Berlin, Steffen Schulz, som jeg kommer godt ud af det med, men som sædvanlig er vore områder for langt fra hinanden til at man rigtigt kan forstå hvad hinanden laver.
Nordøen er nu også flot. I den lige forgangne påske tog vi til Rotorua, et sted med megen termisk aktivitet, så det giver en masse varme kilder, geysere og svovldufte. Vi havde et par dejlige dage dernede, om end det var lidt specielt at vågne op til lugten af svovl hver dag. Der var et par fine steder om Maori-kultur, og det er ret interessant, hvor stor forskel der er på Maorierne her i New Zealand og Aboriginerne i Australien. I New Zealand har Maorierne en meget aktiv rolle i, hvor deres land bevæger sig hen, deres sprog tales og er prominent, mens Aboriginerne i Australien ikke virkede særligt integrerede i deres samfund, og der var en aura af dårlig samvittighed omkring hele forholdet til dem.
I påsken så vi også Hobbiton, eller rettere sagt resterne af filmsættet fra Ringenes Herre. Det stykke land, hvor Hobbiton blev opført, og den del af filmen blev skudt, blev ikke returneret helt til dets oprindelige tilstand på grund af tekniske vanskeligheder med at fjerne et par hobbithuller. Siden blev turistinteressen så stor for stedet, at der blev arrangeret ture dertil, og vi var så med på sådan en. Igen er det ufatteligt, hvor mange detaljer der har været at overskue i det projekt.
Vi tænker også en del videre på resten af vores tur nu. Vi er noget bekymrede over SARS i Kina, og specielt i Beijing, som jo var et af vores kommende rejsemål. En løsning på det kunne være, at vi tager til Vladivostok i stedet og tager den Transsibiriske Jernbane derfra. Endnu ser Japan ud til at holde sygdommen stangen, så der skulle ikke være nogle problemer med den del af turen, og der er blevet opslået nogle gode konferencer på forskningsinstituttet RIMS, mens vi skal være der.
Men indtil da nyder vi stadigvæk New Zealand.
Med venlig hilsen
Henrik Gadegaard Spalk