Til Rejselegat for Matematikere:
De følgende sider udgør min faglige og sociale/kulturelle rapportering for det første kvartal (august til oktober) som legatar på Rejselegat for Matematikere.
Faglig Rapportering:
I virkeligheden begynder den faglige rapportering noget før afrejsen med købet af den bærbare computer, som legatet tillader at indgå i budgettet. Det er en glimrende ide, at der er mulighed for at få en computer med, det har været overordentligt nyttigt for mig, og jeg havde allerede gavn af den inden afrejsen. Mit nuværende Ph.D.-projekt handler om at beregne en basis for en helt speciel type vektorrum bestående af polynomiumsudtryk, der opfylder nogle bestemte betingelser i forhold til en på forhånd givet kurve over et endeligt legeme. Denne type vektorrum kaldes i litteraturen for et Riemann-Roch-vektorrum, og ganske meget vides om dette vektorrums struktur og egenskaber, men den praktiske konstruktion af rummet som givet ved dens basis er knap så veludviklet og var hidtil et ad hoc-problem, der ikke kunne løses andet end i specialtilfælde og i nogle tilfælde slet ikke. (Lige p.t. er situationen muligvis en lidt anden, men mere om det senere). Der er imidlertid en stor anvendelse af disse vektorrum indenfor teorien om Fejlkorrigerende Koder, som igen har så dagligdags anvendelser som for eksempel CD-afspillere og satellit-kommunikation. Derfor er problemstillingen både interessant og relevant.
Så jeg havde givet en speciel familie af kurver over et endeligt legeme af karakteristik 3, og målet var at beskrive en basis for et givet Riemann-Roch rum for hver af disse kurver. Jeg havde allerede givet en komplet beskrivelse i det “nulte” tilfælde, og efter et noget ørkesløst forsøg på at sige noget generelt om situationen besluttede jeg mig for at sætte hårdt mod hårdt i det første tilfælde også. Jeg fik en ide til en algoritme, der kunne give mig nogle af basiselementerne, og den var heldigvis simpel nok til at jeg kunne implementere den i et offentligt tilgængeligt Algebra-program kaldet Singular. Imidlertid var der nogle tekniske problemer med at få det til at virke, som jeg ville have det på Århus Universitet, så da jeg fik den bærbare computer fra legatet, overførte jeg straks algoritmen til computeren og lod den regne dag og nat i en periode på fuld kraft. Og det gav pote: På forhånd vidste jeg, at der skulle findes 3627 basiselementer, og efter et par ugers anvendelse af algoritmen manglede jeg kun en enkelt basisfunktion. (Som jeg i øvrigt stadig mangler, desværre). Så computeren var virkelig en stor hjælp i den periode, men jeg begyndte allerede inden afrejse at mistænke, at algoritmen nok ikke ville finde den sidste basisfunktion.
Dermed var jeg en smule udtømt for ideer, der ville føre mig videre med dette særlige problem og tog derfor afsted med et åbent sind overfor nye problemer, jeg kunne arbejde med, og det første stop var konferencen i Minneapolis i starten af August om Algoritmiske metoder i matematik (Computational Mathematics). Konferencen bestod af en del sideløbende Workshops med et meget bredt udvalg af matematiske emner. Jeg har tidligere været på konferencer og ved, at kvaliteten af indlæggene kan variere meget; En god forsker er ikke nødvendigvis den bedste til at beskrive sine resultater på en inspirerende måde, og derfor vidste jeg, at man skulle vælge sine hørte foredrag med omhu. Jeg kastede mig specielt over de tilgængelige Workshops om Algebraisk Geometri og Talteori, det første værende det emne, der ligger lige for med min baggrund taget i betragtning, det andet værende et utroligt fascinerende emne, som jeg efterhånden ved noget om og også har haft projekter indenfor.
Det viste sig hurtigt, at Talteori-delen var den mest spændende. Foredragene i Algebraisk Geometri var spredte og usammenhængende, så jeg endte hurtigt ovre ved Talteori-gruppen, der viste sig at være en lille flok forskere, med en del unge iblandt, der alle kendte hinanden ret godt. De lavede nogle gode foredrag, ofte med et glimt i øjet, og var generelt meget sympatiske. Vi var ude og spise sammen et par aftener, og der blev mest fortalt historier om Princeton og de store kanoner.
Blandt foredragene var der to, der gjorde et specielt indtryk på mig. Det ene var af en ung forsker ved navn Greg Martin, der fortalte om et kapløb mellem primtal, der havde 1 til rest ved division med 4 (såsom 5,13 og 17) og primtal, der havde 3 til rest ved division med 4 (som 7,11 og 19). Forholdsvise gamle resultater siger for det første, at der er uendeligt mange af hver af disse typer primtal, og for det andet, at der i en eller anden forstand er lige mange af hver type. Greg prøvede derefter at demonstrere via resultater på computeren, at tog man og talte alle primtal af hver type op til en given grænse, f.eks. 10 millioner, så så det bestemt ud som, at der var flest af dem, der havde 1 til rest ved division med 4. Og så prøvede han at bevise nogle resultater, der kunne støtte denne observation, og det virkede overbevisende. Grunden til den tilsyneladende modstrid opstår selvfølgelig i måden, man i første omgang har brugt til at “måle” (det tæthedsbegreb), at der er lige mange af hver slags.
Et andet foredrag omhandlede den berømte Riemann Zeta-funktion og dens nulpunkter. Der har jo i lang tid været et særdeles standhaftigt problem vedrørende denne komplekse funktion; hvor ligger dens nulpunkter? Man ved, at der findes nogle nulpunkter i -2,-4,-6,…, men eftersom de er velkendte, spekulerer man over, hvor resten af dem ligger. Og der er hypotesen (kaldet Riemann-hypotesen), at alle andre nulpunkter ligger på den komplekse linie, hvor realdelen er lig ½. Der er adskillige penge på højkant, hvis man kan bevise eller modbevise hypotesen, jeg mener, at belønningen er omkring 1 million US dollars. Men foredraget blev givet af en ansat på en tysk IBM-virksomhed, som havde sat et program, Zetagrid, sammen, der kunne beregne nulpunkter for Zetafunktionen. Hvis han på et tidspunkt fandt et nulpunkt, der ikke havde ½ som realdel, havde han jo modbevist Riemann-hypotesen, og hvis de alle har, havde han øget troen på formodningens rigtighed. Den virkelige ide var dog måden at få computerkraft til at lave beregningerne på: Han brugte folks computere, når de ikke selv brugte dem, ved at give dem en pauseskærm, som udover at lave et pænt billede gav sig i gang med at beregne nulpunkter og melde resultaterne tilbage til hovedcomputeren. På den måde går det stærkt med at få beregnet nulpunkter, men der er stadig ikke noget modeksempel til hypotesen. Lignende ideer med computerkraft er blevet brugt i jagten på det størst kendte primtal.
Efter vores 10 dage på Hawaii (som jeg vil beskrive under den kulturelle rapportering) landede vi så i Sydney, og jeg blev vel modtaget her på Macquarie University. Jeg sidder på et kontor, hvor der kun sjældent kommer andre, og computer-faciliteterne fungerer for det meste fint. Jeg var, som nævnt, egentlig ude efter et nyt projekt, og jeg har haft nogle samtaler med Igor Shparlinski, min kontaktperson, om det, og han nævnte muligheden for at kigge på nogle analogier mellem de hele tal og globale funktionslegemer. Det, der er tale om, er egentlig en sammenkøring af resultater fra Talteori og resultater om kurver over endelige legemer i Algebraisk Geometri. Der viser sig simpelthen nogle slående analogier, og jeg har blandt andet læst om dette i en bog, jeg har købt for legatpengene, “Number Theory in Function Fields” af Rosen.
Vi har også snakket om muligheden for at lave nogle analogier mellem primtal i de hele tal og irreducible polynomier i en variabel over de hele tal, hvor det lader til, at de fordelingsresultater, der findes for primtallene, ikke endnu har nogen analogi for disse polynomier. Det er der nu også nogle problemer forbundet med, for man har altid brug at “finitisere” problemet, altså gøre det endeligt i en eller anden forstand. For primtal, eksempelvis, gør man problemerne endelige ved kun at kigge på tal, der er mindre end en given grænse. For polynomier med heltalskoefficienter er det noget vanskeligere. Det bedste størrelsesmål, man har i denne situation, er graden af polynomiet, men da der er uendeligt mange polynomier af en given grad med heltallige koefficienter, er man stadig ikke i en endelig situation.
For at løse dette problem kan man gå flere veje, og en af dem er at fastlægge en øvre grænse for koefficienternes størrelse. Dette løser problemet, men det er vanskeligt at udtale sig om, hvordan koefficienterne ændrer størrelse ved multiplikation, og hvis man vil beskæftige sig med irreducibilitet, kan man ikke undgå dette problem. Men i litteraturen har jeg derimod opdaget en anden målestok for polynomier , det såkaldte Mahler-mål, der måler et polynomiums størrelse udfra dets rødder, og det sker på en måde, som gør det nemt at beskrive, hvad der sker ved multiplikation, men man kompromitterer også endeligheden af problemet på denne måde. Jeg tror dog, at der er mulighed for et godt projekt i forbindelse med Mahler-målet, da der er mange interessante og uløste problemer i forbindelse med det.
Inden jeg dog kom så langt som til at lave en konkret projektbeskrivelse, skete der uventet nyt i forbindelse med mit gamle projekt. På Sydney University tættere på byen er der en forskergruppe ved navn Magma, der laver et Algebra-computerprogram. Efter at have snakket lidt med nogle af dem opdagede jeg, at de faktisk havde en generel funktionalitet , der skulle kunne beregne en basis af den type, jeg ledte efter. Jeg blev selvfølgelig interesseret i, hvordan programmet gjorde, og om det var noget, jeg kunne bruge til noget. Det viser sig så, at en tysk forsker, Florian Hess, i foråret udgav en artikel med en meget generel metode til løsning til problemet og implementerede det i Magma ved samme lejlighed. Jeg har læst artiklen og må sige, at det virker meget lovende, så jeg prøver i øjeblikket at skaffe programmet, men der er nogle licensproblemer, der ikke er gået i orden endnu. Hvis programmet kan løse problemet direkte, har jeg selvfølgelig svært ved at tage noget af æren for det, men det kan da være, at jeg så kan bruge den nye viden som et afsæt til et nyt projekt indenfor emnet.
Social/Kulturel Rapportering:
Jeg har været meget glad for at komme ud og rejse på denne måde. Det er meget spændende og har allerede nu bragt mange gode oplevelser med sig. Inden vi ankom i Minneapolis, havde vi et par dage i New York, og det var meget specielt. Ikke bare fordi at det er en enorm storby, men fordi man kunne føle eftervirkningerne af d. 11. september på nærmeste hold. Det havde stadig en stor plads i mediebilledet, og Ground Zero var virkeligt blevet til en turistattraktion, der var hundredvis af mennesker, der bare ville have et glimt at dette store “hul i jorden”. Og det var meget svært for mig at forestille mig en New York Skyline, hvor der var to tårne, der næsten ragede dobbelt så højt op som de andre bygninger. Turen til Frihedsgudinden var også meget fascinerende, specielt for historierne om hvordan immigranterne i gamle dage blev behandlet ved ankomsten til USA. Desværre måtte man af sikkerhedsgrunde ikke komme op i Frihedsgudinden.
Minneapolis var en ganske anden oplevelse. Byen var selvfølgelig noget mindre, men alligevel spændende. Vi boede godt på et Radisson -hotel, som havde en fordelagtig aftale for konference-deltagerne. Hotellet var tæt på universitetet og de havde endda en dejlig ordning, hvor man kunne blive fragtet frem og tilbage til de steder, man ville besøge i nærheden. Specielt mindeværdigt var en tur til en Amerikansk fodboldkamp, hvor Minnesota Vikings spillede mod Cleveland Browns. Jeg anede ikke meget om spillet i forvejen, men kunne efterhånden samle detaljerne op. Der er utroligt mange spilstop, men det bruger arrangørerne til at underholde publikum med alskens gøgl, som de velkendte cheerleaders eller konkurrencer, hvor man kan vinde forskellige småting. Så på trods af at det tog dem 3 timer at spille en kamp på 4 kvarter, så sad man faktisk ikke og kedede sig.
Indbefattet i konferencen var der også en tur op ad Mississippi-floden, der viste sig fra sin bedste side. Vi sejlede op ad floden på et lille skib med levende musik, der bestod af en banjospiller, der spillede gamle klassikere som “My Darling Clementine”. Alt i alt var det meget fornøjeligt. Vi var også en tur i Mall of America, som de pralede af som det største Shopping Center i USA.
Tiden i Hawaii står nu klart som den største oplevelse hidtil. Vi havde planlagt 5 dage i Waikiki og 5 dage på den store Big Island. Waikiki var et utroligt overbefolket sted, propfyldt med turister, i det hele taget lidt for “turistet”. Men Pearl Harbor var da et spændende sted at se, så fik man en anden vinkel på 2.verdenskrig end den europæiske. På Big Island lejede vi en bil og havde planlagt at køre øen rundt. Da vi ankom til øen (via fly, de sejler åbenbart ikke rundt mellem øerne dernede), var der gået koks i biludlejerens reservationer, så han havde ikke flere Økonomi-klasse biler, og han gav os derfor en lækker rød Wrangler Jeep til økonomiprisen. Den havde vi meget glæde af undervejs.
Øen Big Island er meget fascinerende fordi den har natur, der svarer til nærmest alle klimatyper. Der var øde månelandskaber, regnskove og landskaber, der umiskendeligt mindede om danske. Den største seværdighed for os på øen var Vulkan nationalparken, der simpelthen var fantastisk. Man kørte rundt iblandt vulkankratere i et underligt landskab med sprækker og revner overalt. Og til sidst kørte man ned til vandet for at se det sted, hvor lavaen flyder i vandet. Det var nu ikke en stor rød lavatunge, der flød ned i havet, for det går åbenbart lidt mere stille for sig. Efter at have stillet bilen var der et vandrespor ind over den gamle lava, sporet var kun markeret med kegler og kunne ændre sig uden varsel, hvis det skulle blive usikkert. På et tidspunkt endte sporet med en notits om at nu måtte man ikke gå længere. Da der var ingen, der kunne se lava der, gik alle forsigtigt, meget forsigtigt, nogle skridt videre ind for at se rigtig lava. Vi gik også lidt længere ind betænkelighederne til trods og fik til sidst øje på et lille hul med den røde lava i. I forvejen havde vi kunnet lugte svovlen i luften, og man mærkede også fra tid til anden et meget varmt pust fra sprækkerne i klippen under en, men det var fantastisk at kunne se det direkte. På vej tilbage til stien opdagede vi, at vi havde gået forbi en lavasprække, og man kunne med det samme føle varmen fra den.
En anden, knap så positiv oplevelse på Hawaii involverede bjerget Mauna Kea, hvor der er et enormt observatorium på toppen. Vi vidste, at man kunne køre derop, men at vejen var svær, og at det var ulovligt ifølge kontrakten med vores biludlejer at køre derop i jeepen. Da vi ikke er så erfarne bilister, valgte vi i stedet at bestille en aftentur med et firma, der lavede udflugter derop for at man kunne se stjernerne og solnedgangen deroppefra. Da vi så skulle køre hen til mødestedet, var der imidlertid sket et uheld på vejen, en lastbilschauffør var kørt galt i et skarpt hårnålesving, og det blokerede vejen (den eneste vej) i halvanden time. Vi kunne derfor ikke nå til mødestedet, og de skulle afgå til tiden for at man kunne se solnedgangen, måtte vi opgive at komme med.
En sidste ting, jeg synes jeg skal nævne om Hawaii, er Honolulu Airport. Dens sikkerhedsudbud var simpelthen utroligt. Der var selvfølgelig skærpede sikkerhedsforanstaltninger alle steder i USA på grund af frygten for terror, men man kunne dog have forventet, at det var New York, der var det skrappeste sted med hensyn til sikkerhed. Men nej, i Honolulu var sikkerhedscheckene de skrappeste jeg nogensinde har oplevet, og jeg skulle adskillige gange åbne min taske eller gennemsøges med metaldetektor. Tilmed har de fjernet alle muligheder for at stille sin bagage fra sig i lufthavnen, der var ingen bagagerum af nogen art, og det gav os nogle problemer, da vi kom tilbage til Honolulu fra Big Island og skulle tilbringe nogle timer (20!) i Waikiki inden afrejsen til Sydney.
Derefter ankom vi selvfølgelig til Sydney, og her har vi haft det meget godt. Vi havde arrangeret lejen af en møbleret lejlighed på forhånd, så alt var klart ved ankomsten. Til gengæld har det vist sig, at det er lidt langt fra Macquarie University, så den daglige transporttid er betydelig. Og vi har købt en hvid Ford Falcon Stationcar, som vi tager på ture i i weekenden. Den er stor nok til at vi kan overnatte i den. Her i nærheden af Sydney er der utroligt mange nationalparker indenfor køreafstand, og de er meget flotte. Vi har været nogle gange i Blue Mountains, der ligger et par timers kørsel vest herfor, og vi har været i Royal National Park syd herfor et par gange også. Der er noget utroligt flot natur disse steder, men desværre har vi ikke set så mange vilde dyr, selvom vi dog har set en echidna, en australsk version af et pindsvin. Som kompensation har vi været i Taronga Zoo, hvor de heldigvis havde alle dyrene.
Ford’en er vores første rigtige bil, og det har været krævende at lære at køre i den “forkerte” side af vejen. Tilmed er Sydney også så stor, at det har været svært at finde rundt. Men vi er vokset med opgaven. Vi kører dog sjældent ind i midtbyen, hvor trafikmylderet simpelthen bliver for voldsomt, og togene kan i praksis transportere os meget hurtigere. Som bilejere er vi også blevet opmærksomme på, hvor dyrt det egentlig er at parkere, og Sydneys centrum er bestemt ikke et billigt sted at stille bilen.
Blandt de seværdigheder vi indtil nu har set her i byen, skal man selvfølgelig nævne Operahuset og Sydney Harbour Bridge. De er begge utroligt flotte, og vi har været oppe på en klatretur på broen, det var helt fænomenalt. I aften skal vi ind i Operahuset og se Iolanthe, sammen med min far og hans kæreste, der selv har valgt at tage den lange tur herned i et par uger for at se Australien og besøge os samtidig.
Men ellers har vi været i Hunter Valley på en weekendtur, det er en dal fyldt med vingårde, der producerer noget af det bedste australske vin, sammen med i øvrigt ost og chokolade. Vi kørte derop om lørdagen og besluttede os for at overnatte deroppe, så vi havde lidt længere tid der, og da vi så kørte rundt efter et sted at overnatte, kom vi forbi en vingård med en del telte og biler udenfor. Vi tænkte, at vi da kunne spørge, om man kunne sove der, og det kunne vi sagtens, og vi blev budt med til Oktoberfest, en tysk inspireret fest med bayersk øl og pølser med sauerkraut! Værterne var overordentlig flinke, om end vi kunne udtale navnene på de tyske øl bedre end de kunne.
Vores indtryk af Sydney er godt, og australierne virker som hyggelige og flinke mennesker, selvom de i de her dage er mærkede af den nylige terrorbombe på Bali, der jo havde mange australiere som ofre.
Dermed vil jeg stoppe rapporteringen for denne gang.
Med venlig hilsen
Henrik Gadegaard Spalk